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V.I. Arnold 论数学教育

2008年11月5号,星期三

地点: Palais de Découverte in Paris 时间 1997年3月7日.

数学是物理的一部分。物理学是一门实验科学,它是自然科学的一部分。而数学是物理学中只需要花费较少的代价进行实验的那一部分。例如 Jacobi 恒等式(保证三角形三条高交于一点)就是一个实验事实,正如同地球是圆的(即同胚于球体)这样的事实一样。但是发现前者却要比发现后者需要较少的代价。

在20世纪中叶,人们试图严格地区分物理与数学。其造成地后果是灾难性的。整整一代的数学家在对他们所从事的科学的另一半及其无知的情况下成长,当然,对其他的科学就更无知了。这些人又开始把他们的丑陋的学院式的伪数学教给他们的学生,接着这些丑陋的伪数学又被交给中小学校里的孩子们(他们完全忘记了 Hardy的警告:丑陋的数学在阳光下不可能总有藏身之处)。

既然那些从物理学中人为挖出来的学院式的数学既无益于教学,又对其他的科学毫无用处,结果可以想见,全世界的人都讨厌数学家(甚至包括那些被他们教出来的可怜的学校里的孩子们以及那些运用这些丑陋数学的人)。这些先天不足的数学家被他们所患的低能症候群折腾的筋疲力尽,他们无能对物理学有个起码的了解。令人们记忆犹新的由他们建造的一个丑陋建筑物就是“奇数的严格公理化理论”。

很显然,完全可能创造这样一种理论,使得幼稚的小学生们敬畏它的完美及其内部构造的和谐(例如,这种理论定义了奇数个项的和以及任意个因子的乘积)。从这种偏执狭隘的观点来看,偶数或者被认为是一类“异端”,或者随着时间流逝,被用来作为该理论中几个“理想”对象的补充(为了遵从物理与真实世界的需要)。很不幸的是,这种理论只是数学中一个丑陋而变态的构造,但却统治了我们的数学教育数十年。它首先源自于法国,这股歪风很快传播到对数学基础的教学里,先是毒害大学生,接着中小学生也难免此灾(而灾区最先是法国,接着是其他国家,包括俄罗斯)。

如果你问一个法国的小学生:“2+3等于几?”,他(她)会这样回答:“等于3+2,因为加法运算是可交换的”。他(她)根本不知道这个和等于几,甚至根本不能理解你在问他(她)什么!

还有的法国小学生会这样定义数学(至少我认为很有可能):“存在一个正方形,但还没有被证明”。

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磁单极与拓扑

2008年08月6号,星期三

之前的一篇文章给出了磁单极子量子化的恶搞版证明,这里再写一个稍正式一些的、在很多书中都可以找到的证明,不那么恶搞,但是很漂亮。

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球面翻转

2008年07月15号,星期二

如何将一个球的里面翻到外面来?当然,条件是不能撕破(连续变换)、不能有折痕(可微的变换),但是允许自相交。

1957年,美国数学家Stephen Smale证明这是可以做到的,然而又用了7年时间才找到了具体的操作方法。结果当然是相当震撼。下面这个精彩的视频演示操作过程。对于像我一样外行的同学而言,至少是一种视觉享受。

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